Background

今天仔细看了看发现线性代数真的很有趣

向量 基

向量是空间的箭头，是有序数 数字的大小表示到X Y Z的距离
i帽 j帽 二维基向量 如果他们不共线 他们的线性组合就是张成的空间，一个平面 三维同理 三个不共线的向量构成整个三维空间

线性变换

线性变化就像一个函数一样
输入一个向量组 输出一个向量组
线性变化就是其中的过程

行列式

行列式其实就是坐标轴中两个向量夹成的面积 如果行列式为0 说明两个向量共线，线性相关。说明该矩阵是不可逆的
关于行列式为负数 可以这样理解 角度有关 进行翻转空间 会产生负数
也可以这样理解行列式 就是缩放比例

矩阵对空间的操控

降维是不可逆的
所以行列式为0 说明降到一维了 此时矩阵不可逆 所以这样理解 行列式不为0 矩阵可逆
我们可以这么理解降维不可逆
你看一个正视图 不能推出原来几何体
零向量 空间压成一条直线

rank

变化后列空间的维数 我们可以把列向量看成对 ijk操控
那么研究一个问题 行列式为0 无解吗？ 压缩成一条直线 变换后的向量正好在线上不就有解了嘛
齐次方程行列式为0 有0解
非齐次就可能无解了
还有个问题 任意矩阵的秩小于矩阵的行数 就是变换后空间的维数肯定小于等于空间原本的维数
基础解析是解能构成的几维空间
三维到二维 基础解系有两个线性无关解
二维到一维 基础解析有一个
所以n-r(A)的意义可以这么理解 三阶矩阵 秩为2 只有一个基础解系 n-r就是零空间的维数
零空间的解也就是我们所说的方程的通解